La estacionariedad es una propiedad fundamental y deseable cuando empleamos diversos métodos estadísticos para realizar pronósticos sobre Series de Tiempo. En esencia, esta propiedad nos indica que ciertas características estadísticas de la serie se mantienen constantes a lo largo del tiempo.
En este artículo, analizaremos qué es la estacionariedad, por qué es crucial determinarla al momento de construir modelos de pronósticos de Series de Tiempo, qué métodos existen para evaluarla y cómo transformar una serie no estacionaria en una estacionaria mediante la técnica de diferenciación.
Concepto de Estacionariedad: idea intuitiva
Para comprender la estacionariedad, es útil analizar el comportamiento de datos reales, como por ejemplo el precio de la acción de Google.
Caso A: variación del precio (serie estacionaria)
En la siguiente figura podemos observar la variación (el cambio de precio entre un día y otro) de esta acción (el eje vertical) con respecto a un periodo de tiempo determinado (eje horizontal):
En esta figura podemos ver que independientemente del intervalo de tiempo analizado, el comportamiento se mantiene constante. Por ejemplo:
- Entre 2014-07 y 2015-04, la variación oscila en un rango de -1 a 1.
- Y entre 2015-11 y 2016-07, la variación se mantiene en el mismo rango.
Este comportamiento constante, independientemente del intervalo, es un ejemplo de una serie de tiempo estacionaria.
Caso B: precio de la acción (serie no estacionaria)
Si ahora analizamos el precio absoluto de la acción en lugar de su variación, el panorama cambia:
En este caso podemos observar que:
- En el periodo 2014-07 a 2015-07, el precio oscila aproximadamente entre 24 y 30 USD.
- Pero de 2015-07 a 2017-01, el precio sube y oscila entre 30 y 40 USD.
Debido a que el comportamiento cambia dependiendo del intervalo de tiempo, decimos que esta serie es no estacionaria.
Definición formal y propiedades estadísticas
Así que, en términos simples, podemos decir que una serie de tiempo es estacionaria si sus propiedades estadísticas no cambian con el tiempo.
Estas propiedades son fundamentalmente dos:
El promedio (Media)
Consiste en la suma de todos los valores de la serie dividida por el número total de registros de la Serie.
En la figura de abajo (en color rojo) vemos el promedio de la Serie de Tiempo de la variación de la acción de Google:
Y vemos que en este caso este promedio se mantiene prácticamente constante a lo largo del tiempo (y con un valor cercano a 0). Así que esta Serie cumple con esta primera condición: una media constante a lo largo del tiempo.
La desviación estándar
Es una medida que indica qué tanto se alejan, en promedio, los valores de la Serie de su valor medio.
En la figura de abajo vemos (en amarillo) el comportamiento de la desviación estándar a lo largo del tiempo para la misma serie que contiene la variación de la acción de Google:
Y acá vemos que la desviación estándar es prácticamente constante a lo largo del tiempo. Por tanto se cumple la segunda condición y podemos decir que esta Serie de Tiempo es estacionaria.
Ejemplos de series estacionarias y no estacionarias
Para entender claramente este concepto de estacionariedad, a continuación analizaremos diferentes tipos de series para identificar si cumplen con los criterios que descritos anteriormente (media y desviación estándar iguales a cero).
En cada caso la Serie de Tiempo corresponde a la curva de color azul, mientras que la media y la desviación estándar corresponden a las curvas de color rojo y amarillo respectivamente.
Ejemplo 1: serie estacionaria ideal
En este caso, la serie muestra un promedio constante cercano a 1.5 y una desviación estándar constante de aproximadamente 0.1. Es una serie estacionaria.
Ejemplo 2: serie estacionaria con mayor oscilación
Esta serie tiene un comportamiento similar a la del primer ejemplo, pero con oscilaciones más marcadas. El promedio sigue siendo constante cerca de 1.5, pero la desviación estándar sube a 1. Al ser ambos valores constantes, sigue siendo una serie estacionaria.
Ejemplo 3: serie con tendencia
En este caso la serie tiene tendencia creciente, lo cual implica que sus valores se incrementan a medida que avanza el tiempo. En particular:
- la media no es constante y por el contrario se incrementa con el tiempo
- mientras que la desviación estándar se mantiene constante
Sin embargo, al no tener una media constante podemos decir que se trata de una serie no estacionaria.
Ejemplo 4: serie con estacionalidad
Una serie con estacionalidad se repite periódicamente (alcanza máximos y mínimos cada cierto tiempo). En este caso podemos ver que:
- La media es constante y tiene un valor cercano a 2
- Y la desviación estándar también es constante y con un valor cercano a 1
Por tanto una serie puramente estacional es a la vez una serie estacionaria.
Ejemplo 5: serie con desviación incremental
En este escenario, las oscilaciones son pequeñas al inicio y crecen a medida que avanza el tiempo. En particular, podemos ver que:
- La media es prácticamente constante y tiene un valor ligeramente superior a 2
- Pero la desviación estándar es variable: comienza con un valor cercano a 0 y al final llega casi a 2
Como la desviación estándar cambia con el tiempo, es una serie no estacionaria.
Ejemplo 6: combinación de tendencia y estacionalidad
En este último ejemplo vemos que la serie incrementa sus valores (tendencia) y tiene oscilaciones periódicas (estacionalidad). Además, vemos que:
- la media se incrementa con el tiempo (no es constante)
- pero la desviación estándar sí se mantiene constante
Como la media varía a lo largo del tiempo, concluimos que se trata de una serie no estacionaria.
Métodos para determinar la estacionariedad
Muy bien, teniendo claro qué es la estacionariedad de una Serie de Tiempo, veamos a continuación cómo determinar si una serie es estacionaria o no.
En la práctica existen tres métodos principales.
El primero de ellos es la inspección visual (el método que usamos en los ejemplos anteriores). En este caso simplemente generamos el gráfico de la Serie y superponemos la media y la desviación estándar para verificar visualmente si son constantes o no.
El segundo método consiste en aplicar pruebas globales y locales a la Serie. Es decir, consiste en comparar las métricas de toda la serie con sub-intervalos.
Por ejemplo, en la figura de abajo vemos que la media y la desviación global de la Serie de Tiempo correspondiente a la acción de Google son de 32 y 4.9 respectivamente:
Sin embargo, si ahora calculamos los mismos parámetros pero a nivel local encontraremos diferencias. Por ejemplo, en la figura de abajo vemos los valores que tienen la media y la desviación de la Serie en dos diferentes intervalos de tiempo (entre 2014-07 y 2015-07, a la izquierda, y entre 2015-07 y 2017-01, a la derecha):
Y acá es evidente que al evaluar localmente la media y la desviación estándar, obtenemos valores totalmente diferentes a los obtenidos en el análisis global. Así que esta discrepancia confirma que la serie es no estacionaria.
Y por último tenemos la prueba aumentada de Dickey-Fuller, que es precisamente una prueba estadística formal que permite evaluar la estacionariedad. De hecho, en el curso Series de Tiempo: Análisis Exploratorio explico en detalle esta prueba y vemos de forma práctica cómo aplicarla a una Serie de Tiempo con ayuda de Python.
Importancia de la estacionariedad y la técnica de diferenciación
Determinar la estacionariedad es clave porque muchos modelos de pronósticos de Series de Tiempo, como los modelos ARIMA, asumen que la serie es estacionaria para generar pronósticos precisos. Si la serie no lo es, debemos aplicar un procesamiento adicional que se conoce como la diferenciación.
La diferenciación
Es la técnica más usada para convertir una serie no estacionaria en una estacionaria. Su principio matemático consiste en restar de la serie original una versión de sí misma desplazada una (o más) muestra(s).
Por ejemplo, para una diferenciación de orden 1 simplemente restamos de la serie original la serie desplazada una muestra:
$$s_t = y_t – y_{t-1}$$
Donde:
- $y_t$: serie de tiempo original.
- $y_{t-1}$: serie desplazada una muestra.
- $s_t$: serie resultante.
Esta operación permite muchas veces estabilizar el promedio y la desviación estándar. De hecho, es particularmente efectiva para eliminar el componente de tendencia de una Serie, pues tras aplicar diferenciación a una serie con tendencia, se obtiene una serie donde la media y la desviación se vuelven constantes.
Por ejemplo, en la figura de abajo vemos la misma Serie usada en el ejemplo 3 anteriormente, la cual tiene tendencia (y por tanto es no estacionaria):
Y a continuación podemos ver el resultado de diferenciar esta Serie:
Con lo cual podemos verificar que tanto la media como la desviación estándar son constantes a lo largo del tiempo y por tanto la Serie resultante es estacionaria.
Siguiendo la misma lógica, podemos aplicar diferenciación a una Serie con tendencia y estacionalidad (es decir no estacionaria) para hacer que sea estacionaria. Así, si tomamos la Serie del ejemplo 6 (la cual tiene tendencia y estacionalidad):
y la diferenciamos obtendremos la siguiente Serie resultante:
Y podemos comprobar que se trata precisamente de una Serie estacionaria, con media y desviación estándar constantes a lo largo del tiempo.
Conclusión
Como acabamos de ver, la estacionariedad, definida por la constancia de la media y la desviación estándar en el tiempo, es un requisito previo para el uso de modelos clásicos para pronósticos de Series de Tiempo.
Y podemos usar técnicas como la diferenciación para lograr obtener una Serie estacionaria a partir de una no estacionaria, permitiendo así el entrenamiento de diferentes modelos predictivos.